CÁLCULOS MATEMÁTICOS "INSOLUCIONÁVEIS" (PROBLEMAS DE HILBERT)

Os Problemas de Hilbert são uma lista de 23 problemas em matemática propostos pelo matemático alemão David Hilbert na conferência do Congresso Internacional de Matemáticos de Paris em 1900. Nenhum dos problemas havia tido solução até então, e vários deles acabaram se tornando muito influentes na matemática do século XX. Nessa conferência, ele publicou 10 dos problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22), e o resto da lista foi publicado mais tarde.

Lista e situação dos problemas

Os 23 problemas de Hilbert são:

Número do problema	Situação	Enunciado
Problema 1	Resolvido	Provar a hipótese do continuum (HC) de Cantor
Problema 2	Resolvido	Demonstrar a consistência dos axiomas da aritmética
Problema 3	Resolvido	Pode-se provar que dois tetraedros têm o mesmo volume (sob certas condições)?
Problema 4	Vago Demais	Construir todos os espaços métricos em que as linhas são geodésicas
Problema 5	Resolvido	Todo grupo contínuo é automaticamente um grupo diferencial?
Problema 6	Não-matemático	Transformar toda a Física em axiomas
Problema 7	Resolvido	a b é transcendente para a ≠ 0,1 algébrico e b irracional algébrico? (ex.: )
Problema 8	Aberto	A Hipótese de Riemann e a Conjectura de Goldbach
Problema 9	Parcialmente Resolvido	Achar a lei de reciprocidade mais geral em todo campo de número algébrico
Problema 10	Resolvido	Encontrar um algoritmo que determine se uma equação diofantina tem solução
Problema 11	Parcialmente Resolvido	Classificar as formas quadráticas a coeficiente nos anéis algébricos inteiros
Problema 12	Aberto	Estender o Teorema de Kronecker-Weber para os corpos não abelianos.
Problema 13	Resolvido	Demonstrar a impossibilidade de resolver equações de sétimo grau através de funções de somente duas variáveis
Problema 14	Resolvido	Provar o carácter finito de certos sistemas completos de funções
Problema 15	Parcialmente Resolvido	Desenvolver bases sólidas para o cálculo enumerativo de Schubert
Problema 16	Aberto	Desenvolver uma topologia de curvas e superfícies algébricas
Problema 17	Resolvido	Demonstrar que uma função racional positiva pode ser escrita sob a forma de soma de quadrados de funções racionais
Problema 18	Resolvido	Construir um espaço euclidiano com poliedros congruentes. Qual a maneira mais densa de se empacotarem esferas?
Problema 19	Resolvido	Provar que o cálculo de variações é sempre necessariamente analítico
Problema 20	Resolvido	Todos os problemas variacionais com certas condições de contorno têm solução?
Problema 21	Resolvido	Prova da existência de equações diferenciais lineares tendo um determinado grupo monodrômico
Problema 22	Resolvido	Uniformizar as curvas analíticas através de funções automorfas
Problema 23	Aberto	Desenvolver um método geral de resolução no cálculo de variações

Notas

1. O resultado de independência de Cohen, mostrando que a hipótese do Continuum (HC) independe do axioma de Zermelo-Fränkel e do axioma da escolha (ZFC) é freqüentemente citado para justificar a asserção que o primeiro problema foi resolvido, apesar de que possa ser possível que a Teoria dos Conjuntos deveria ter axiomas adicionais capazes de resolver o problema.
2. Gödel demonstrou em 1931, através do seu teorema da Incompletude, que isso não podia ser demonstrado sem sair da aritmética. Gerhard Gentzen, no entanto, demonstrou que a resposta era afirmativa colocando-se o problema no âmbito da Teoria dos Conjuntos.
3. Dehn, aluno de Hilbert, mostrou que não já em 1900, demonstrando que era impossível dividir um cubo e um tetraedro regular de mesmo volume em um número finito de poliedros idênticos dois a dois. Apesar de tudo, o paradoxo de Banach–Tarski constitui um resultado positivo para essa questão, porém sua demonstração depedede do axioma da escolha.
4. Segundo Rowe & Gray (veja referência abaixo), a maioria dos problemas foram resolvidos. Alguns não foram completamente definidos, mas progresso suficiente foi feito para que se possa considerá-los como "resolvidos"; Rowe & Gray consideram o quarto problema como vago demais para se dizer se foi ou não resolvido.
5. O teorema de Gleason-Montgomery-Zippin, em 1953, respondeu com a afirmativa.
6. Graças à aparição da Teoria da Relatividade e da Mecânica Quântica, o problema tornou-se rapidamente obsoleto. No entanto, pode-se notar que a Física teórica e a Matemática se aproximam cada vez mais. Atualmente, existem vários axiomas usados na física quântica: Os Axiomas de John von Neumann, os Axiomas de Wightman, etc.
7. Os trabalhos de Gelfond, completados por Schneider e Baker, permitiram a resolução parcial deste problema (ver Teorema de Gelfond-Schneider).
8. O problema 8 contém dois famosos problemas, e ambos permanecem sem solução. O primeiro deles, a hipótese de Riemann, é um dos 7 problemas do Prémio Millenium, que têm a fama de serem os "Problemas de Hilbert" do século XXI. Progressos foram feitos por Pierre Deligne, que demonstrou as conjecturas de Weil, e recebeu por isso a medalha Fields en 1978, mas estima-se que a solução do problema ainda esteja longe. A Conjectura de Goldbach também permanece sem qualquer solução definitiva.
9. Resolvido por Emil Artin em 1927.
10. Foi somente com os trabalhos de Church et Turing em 1930 que se definiu rigorosamente a noção de algoritmo. Em 1970, Yuri Matiyasevich, estabelecendo uma equivalência entre os conjuntos recursivamente enumeráveis e os conjuntos diofantinos, estabeleceu que um tal algoritmo não podia existir.
11. O teorema de Hasse-Minkowski resolve o problema em , e Siegel resolveu-o para outros anéis íntegros.
12. -Este problema aberto é de multiplicação complexa num campo imaginário quadrático e Robert Langlands o incluiu no seu Programa, iniciado em 1967.
13. Demonstrado por Kolmogorov e seu aluno Vladimir Arnold em 1954.
14. Nagata deu um contra-exemplo, em 1959, que mostrou a falsidade da conjectura.
15. Resolvido por van der Waerden em 1930.
16. O problema está aberto e no seu status atual, a definição da solução está em 2 conceitos: uma investigação das posições relativas das marcas das curvas álgebricas de ordem n (e similaridades em superfícies álgebricas); a determinação do limite superior do número de ciclos de limites em polinômios de campos vetoriais de ordem n e uma consequente investigação de suas posições relativas.
17. Resolvido por Artin em 1927.
18. Rowe & Gray também consideram o 18° problema como "aberto" em seu livro de 2000, porque o problema de empacotamento de esferas (também conhecido como a conjectura de Kepler) não estava resolvido, mas uma solução para ele foi anunciada em 1998 por Thomas Hall. A outra parte do problema foi resolvida por Ludwig Bieberbach em 1910.
19. Resolvido por Sergei Bernstein e Tibor Rado em 1929. Em 1957, surgiram duas novas soluções para esta questão: uma do italiano Ennio de Giorgi e outra, do americano John Nash [este usando métodos originais e sem saber da solução de Ennio].
20. O resultado é descoberto por solução em casos não-lineares.
21. Resolvido por Helmut Rörl em 1957
22. Resolvido por Koebe e Henri Poincaré em 1907.
23. Este problema não foi resolvido.

O 24° problema

Ao preparar os problemas, Hilbert havia listado 24 problemas, mas acabou decidindo não propor um deles. O 24° era sobre um critério para simplicidade e métodos gerais em Teoria de Prova. Deve-se a descoberta deste problema a Rüdiger Thiele, em 2000.

fonte : wikipédia